本章學習目標
機率 (probability) 是生物統計的心臟，也是臨床醫學每天都在使用、但很少被正式命名的語言。當你說「這位病人的肺炎可能性很高」、「這個篩檢陽性不一定代表真的有病」、「這個治療副作用不常見」，其實都在做機率判斷。只是有時候我們穿著白袍講機率，聽起來比較像臨床直覺。
讀完本章後，你應該能夠：
- 說明樣本空間 (sample space)、事件 (event) 與機率的基本概念。
- 使用加法法則 (addition rule) 與乘法法則 (multiplication rule) 計算複合事件機率。
- 區分互斥事件 (mutually exclusive events) 與獨立事件 (independent events)。
- 解釋條件機率 (conditional probability)、敏感度 (sensitivity)、特異度 (specificity)、陽性預測值 (positive predictive value, PPV) 與陰性預測值 (negative predictive value, NPV)。
- 使用貝氏定理 (Bayes’ theorem) 說明疾病盛行率如何改變檢驗結果的臨床意義。
- 使用 R 進行簡單機率計算與模擬 (simulation)。
為什麼醫學生與公衛學生要學機率？
醫療決策很少有 100% 確定的答案。病史、理學檢查、抽血、影像與篩檢工具都只是提供線索。機率讓我們把這些線索放在同一張地圖上，避免被慢一個數字牽著走。
例如某檢驗的敏感度與特異度都很高，聽起來很厲害。但若疾病非常罕見，陽性結果仍可能有不少是假陽性。這不是檢驗在搗亂，而是機率在提醒我們：背景風險很重要。臨床上若忘記盛行率，就像只看病人的收縮壓卻完全不問年齡、病史與症狀，會少掉關鍵脈絡。
本章的目的不是把你訓練成賭場精算師，而是讓你能在醫學研究與臨床診斷中，讀懂不確定性，並把不確定性說清楚。
樣本空間、事件與機率
樣本空間 (sample space) 是一次隨機過程所有可能結果的集合。事件 (event) 是樣本空間中的一部分結果。機率是用 0 到 1 之間的數值描述事件發生的可能性。機率 0 代表不可能發生，機率 1 代表必定發生。
在醫學例子中：
- 從門診抽一位病人，事件 A 可以是「有糖尿病」。
- 對病人做篩檢，事件 B 可以是「檢驗結果陽性」。
- 追蹤一組病人，事件 C 可以是「30 天內再住院」。
如果 1000 位門診病人中有 180 位有糖尿病，那麼糖尿病的樣本機率約為：
\[
P(\text{糖尿病}) = \frac{180}{1000} = 0.18
\]
這裡的 \(P(A)\) 表示事件 A 發生的機率。機率不是命運宣判，而是根據目前資訊對不確定性的量化。
範例 1：慢性病事件的機率
假設某社區門診抽樣 1000 位成年人，其中 180 位有糖尿病、260 位有高血壓、90 位兩者皆有。下面用 R 整理事件機率。
n <- 1000
diabetes <- 180
hypertension <- 260
both <- 90
at_least_one <- diabetes + hypertension - both
risk_data <- data.frame(
event = c("糖尿病", "高血壓", "兩者皆有", "至少一者"),
count = c(diabetes, hypertension, both, at_least_one),
stringsAsFactors = FALSE
)
risk_data$probability <- risk_data$count / n
# 確保繪圖排序
risk_data$event <- factor(risk_data$event, levels = risk_data$event)
risk_data
event count probability
1 糖尿病 180 0.18
2 高血壓 260 0.26
3 兩者皆有 90 0.09
4 至少一者 350 0.35
p1 <- ggplot(risk_data, aes(x = event, y = probability)) +
geom_col(fill = "#2a9d8f", width = 0.6) +
geom_text(aes(label = sprintf("%.2f", probability)), vjust = -0.5, size = 3.5, family = "Noto Sans CJK TC") +
scale_y_continuous(limits = c(0, 0.45)) +
labs(
title = "門診族群中常見慢性病事件的機率",
x = "事件",
y = "機率"
) +
theme(panel.grid.major.x = element_blank())
p1
這個例子也提醒我們：事件可以重疊。糖尿病與高血壓不是互斥事件，一位病人可以兩者皆有。若直接把 180 與 260 相加，會把同時有兩種疾病的 90 位病人算兩次。
加法法則：至少發生一個事件
加法法則用來計算「A 或 B 發生」的機率。若 A 與 B 可能重疊，公式是：
\[
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
\]
其中 \(A \cup B\) 表示 A 或 B 至少一者發生，\(A \cap B\) 表示 A 與 B 同時發生。
在前面的慢性病例子中：
\[
P(\text{糖尿病或高血壓}) = 0.18 + 0.26 - 0.09 = 0.35
\]
若兩個事件不可能同時發生，稱為互斥事件。互斥事件的交集機率為 0，因此：
\[
P(A \cup B) = P(A) + P(B)
\]
例如一位病人的 ABO 血型不可能同時是 A 型又是 B 型，這就是互斥事件。不過「高血壓」和「糖尿病」顯然不是互斥事件；人體很有創意，常常不只帶一個診斷來門診。
乘法法則與條件機率
條件機率 (conditional probability) 是在已知某事件發生的條件下，另一事件發生的機率，記作 \(P(A \mid B)\)，讀作「在 B 發生之下 A 的機率」。
乘法法則可寫成：
\[
P(A \cap B) = P(A \mid B)P(B)
\]
也可以寫成：
\[
P(A \cap B) = P(B \mid A)P(A)
\]
從定義來看：
\[
P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}
\]
在前面的例子中，若 A 是糖尿病，B 是高血壓，則：
\[
P(\text{糖尿病} \mid \text{高血壓}) = \frac{0.09}{0.26} \approx 0.346
\]
也就是高血壓病人中約 34.6% 同時有糖尿病。條件機率很臨床，因為醫師很少在完全空白的情況下判斷；我們總是根據症狀、年齡、檢驗結果與病史更新可能性。
p_diabetes <- diabetes / n
p_hypertension <- hypertension / n
p_both <- both / n
conditional_table <- data.frame(
quantity = c(
"P(糖尿病)",
"P(高血壓)",
"P(糖尿病且高血壓)",
"P(糖尿病 | 高血壓)",
"P(高血壓 | 糖尿病)"
),
value = c(
p_diabetes,
p_hypertension,
p_both,
p_both / p_hypertension,
p_both / p_diabetes
),
stringsAsFactors = FALSE
)
conditional_table$value <- round(conditional_table$value, 3)
conditional_table
quantity value
1 P(糖尿病) 0.180
2 P(高血壓) 0.260
3 P(糖尿病且高血壓) 0.090
4 P(糖尿病 | 高血壓) 0.346
5 P(高血壓 | 糖尿病) 0.500
獨立不等於互斥
獨立事件 (independent events) 是指一個事件是否發生，不會改變另一事件的機率。如果 A 與 B 獨立，則：
\[
P(A \mid B) = P(A)
\]
等價於：
\[
P(A \cap B) = P(A)P(B)
\]
請小心：獨立與互斥完全不同。互斥事件不能同時發生；獨立事件則是彼此不影響。若兩個事件互斥且其中一個發生，另一個就不可能發生，因此通常不會獨立，除非其中某事件機率是 0。這一點很容易混淆，統計課常在這裡設小陷阱，不是因為老師壞，是因為概念真的長得有點像。
在慢性病例子中，若糖尿病與高血壓獨立，我們會預期：
\[
P(\text{糖尿病且高血壓}) = 0.18 \times 0.26 = 0.0468
\]
但實際觀察到 0.09，比獨立情況下更高，暗示兩者在此族群中可能相關。
expected_if_independent <- p_diabetes * p_hypertension
observed_joint <- p_both
independence_check <- data.frame(
情境 = c("若獨立時的 P(兩者皆有)", "實際觀察的 P(兩者皆有)"),
機率 = c(expected_if_independent, observed_joint),
stringsAsFactors = FALSE
)
independence_check$機率 <- round(independence_check$機率, 4)
independence_check
情境 機率
1 若獨立時的 P(兩者皆有) 0.0468
2 實際觀察的 P(兩者皆有) 0.0900
篩檢檢驗的 2x2 表
機率在診斷研究中特別重要。假設某疾病盛行率為 5%，在 1000 位受檢者中有 50 位真正有病、950 位沒有病。某篩檢工具在有病者中抓出 45 位陽性，在無病者中有 95 位誤判為陽性。
library(tidyr)
screening <- data.frame(
disease = c("有病", "有病", "無病", "無病"),
test = c("陽性", "陰性", "陽性", "陰性"),
count = c(45, 5, 95, 855),
stringsAsFactors = FALSE
)
screening_matrix <- screening %>%
pivot_wider(names_from = test, values_from = count) %>%
mutate(disease = factor(disease, levels = c("有病", "無病"))) %>%
arrange(disease) %>%
as.data.frame()
row.names(screening_matrix) <- screening_matrix$disease
screening_matrix <- screening_matrix %>% select(陽性, 陰性)
screening_matrix
# 使用 ggplot2 繪製 2x2 矩陣熱圖
screening_plot_data <- screening
screening_plot_data$disease <- factor(screening_plot_data$disease, levels = c("無病", "有病"))
screening_plot_data$test <- factor(screening_plot_data$test, levels = c("陽性", "陰性"))
p2 <- ggplot(screening_plot_data, aes(x = test, y = disease, fill = count)) +
geom_tile(color = "white", linewidth = 0.5) +
geom_text(aes(label = count), size = 6) +
scale_fill_distiller(palette = "YlGnBu", direction = 1) +
guides(fill = "none") +
labs(
title = "篩檢結果與疾病狀態的 2x2 表",
x = "篩檢結果",
y = "疾病狀態"
) +
theme(
panel.grid = element_blank(),
axis.text = element_text(size = 12)
)
p2
這張表可以算出四個診斷研究常見指標：
- 敏感度：有病的人中，檢驗陽性的比例。
- 特異度：無病的人中，檢驗陰性的比例。
- 陽性預測值：檢驗陽性的人中，真正有病的比例。
- 陰性預測值：檢驗陰性的人中，真正無病的比例。
tp <- screening_matrix["有病", "陽性"]
fn <- screening_matrix["有病", "陰性"]
fp <- screening_matrix["無病", "陽性"]
tn <- screening_matrix["無病", "陰性"]
sensitivity <- tp / (tp + fn)
specificity <- tn / (tn + fp)
ppv <- tp / (tp + fp)
npv <- tn / (tn + fn)
diagnostic_metrics <- data.frame(
指標 = c("敏感度", "特異度", "陽性預測值", "陰性預測值"),
英文 = c("sensitivity", "specificity", "positive predictive value", "negative predictive value"),
數值 = c(sensitivity, specificity, ppv, npv),
stringsAsFactors = FALSE
)
diagnostic_metrics$數值 <- round(diagnostic_metrics$數值, 3)
diagnostic_metrics
指標 英文 數值
1 敏感度 sensitivity 0.900
2 特異度 specificity 0.900
3 陽性預測值 positive predictive value 0.321
4 陰性預測值 negative predictive value 0.994
請注意：敏感度與特異度是以疾病狀態為條件；PPV 與 NPV 是以檢驗結果為條件。臨床醫師拿到檢驗結果後，通常真正想知道的是 PPV 或 NPV，而不是只有敏感度與特異度。
貝氏定理：檢驗結果如何更新疾病機率
貝氏定理 (Bayes’ theorem) 是條件機率的直接應用。若 D 代表有病，+ 代表檢驗陽性，則：
\[
P(D \mid +) = \frac{P(+ \mid D)P(D)}{P(+)}
\]
其中 \(P(D)\) 是檢驗前機率 (pre-test probability)，常可由疾病盛行率、臨床風險或醫師判斷估計；\(P(D \mid +)\) 是檢驗後機率 (post-test probability)。
在篩檢情境中，疾病越罕見，即使檢驗本身不差，陽性結果中假陽性的比例仍可能很高。這就是為什麼低風險族群的大規模篩檢需要特別小心：陽性不一定是壞消息的確認，有時候只是進一步檢查的開始。
範例 2：盛行率如何影響 PPV 與 NPV
假設某檢驗敏感度與特異度皆為 90%。我們改變疾病盛行率，看看 PPV 與 NPV 如何變化。
screening_metrics <- function(prevalence, sensitivity = 0.90, specificity = 0.90) {
ppv <- sensitivity * prevalence / (sensitivity * prevalence + (1 - specificity) * (1 - prevalence))
npv <- specificity * (1 - prevalence) / ((1 - sensitivity) * prevalence + specificity * (1 - prevalence))
list(ppv = ppv, npv = npv)
}
prevalence_grid <- seq(0.01, 0.50, length.out = 100)
res <- screening_metrics(prevalence_grid)
metrics <- data.frame(
prevalence = rep(prevalence_grid, each = 2),
metric = rep(c("陽性預測值", "陰性預測值"), 100),
value = c(rbind(res$ppv, res$npv)),
stringsAsFactors = FALSE
)
head(metrics)
prevalence metric value
1 0.01000000 陽性預測值 0.08333333
2 0.01000000 陰性預測值 0.99887892
3 0.01494949 陽性預測值 0.12017322
4 0.01494949 陰性預測值 0.99831657
5 0.01989899 陽性預測值 0.15449634
6 0.01989899 陰性預測值 0.99774919
p3 <- ggplot(metrics, aes(x = prevalence, y = value, color = metric)) +
geom_line(linewidth = 1.2) +
scale_y_continuous(limits = c(0, 1.02)) +
labs(
title = "盛行率如何影響陽性與陰性預測值",
x = "疾病盛行率",
y = "預測值",
color = "metric"
) +
theme(legend.position = "right")
p3
圖中最重要的訊息是：PPV 會隨盛行率上升而上升，NPV 則通常在低盛行率時很高。換句話說，同一個檢驗在不同族群中，臨床意義可能完全不同。檢驗不會自己講背景故事，所以我們要替它補上。
勝算與風險
風險 (risk) 是事件發生的機率。例如 100 位病人中 20 位發生副作用，風險是 0.20。勝算 (odds) 是事件發生機率除以未發生機率：
\[
\text{odds} = \frac{p}{1-p}
\]
若副作用風險為 0.20，勝算為：
\[
\frac{0.20}{0.80} = 0.25
\]
風險與勝算不同。當事件很罕見時，兩者數值接近；當事件常見時，勝算會比風險大很多。病例對照研究與邏輯斯迴歸常使用勝算比 (odds ratio)，因此理解勝算重要。它一開始有點不直覺，但多看幾次就會熟，像第一次看心電圖也不會馬上跟 P 波成為好朋友。
risk_values <- data.frame(risk = c(0.01, 0.05, 0.10, 0.20, 0.50, 0.80))
risk_values$odds <- risk_values$risk / (1 - risk_values$risk)
risk_values <- round(risk_values, 3)
risk_values
risk odds
1 0.01 0.010
2 0.05 0.053
3 0.10 0.111
4 0.20 0.250
5 0.50 1.000
6 0.80 4.000
模擬：用電腦看見機率
模擬 (simulation) 是用電腦重複產生隨機結果，觀察長期行為的方法。它不能取代數學推導，但能幫助我們建立直覺。
假設某藥物的副作用機率是 0.25。若每次收治 20 位使用此藥的病人，發生副作用的人數會是多少？每一批 20 人都不一樣，但若重複很多次，分布會逐漸穩定。
simulated_trials <- rbinom(n = 5000, size = 20, prob = 0.25)
sim_df <- data.frame(events = simulated_trials)
simulation_summary <- sim_df %>%
group_by(events) %>%
summarise(probability = n() / nrow(sim_df), .groups = "drop") %>%
arrange(events)
head(simulation_summary, 10)
# A tibble: 10 × 2
events probability
<int> <dbl>
1 0 0.0046
2 1 0.0214
3 2 0.0714
4 3 0.136
5 4 0.189
6 5 0.192
7 6 0.169
8 7 0.114
9 8 0.061
10 9 0.0278
p4 <- ggplot(simulation_summary, aes(x = factor(events), y = probability)) +
geom_col(fill = "#8ab17d", width = 0.6) +
labs(
title = "每位病人副作用機率為 0.25 時的重複模擬",
x = "20 位病人中發生副作用的人數",
y = "模擬機率"
) +
theme(panel.grid.major.x = element_blank())
p4
這張圖讓我們看到，即使單一病人副作用機率固定為 0.25，每批 20 位病人中實際發生副作用的人數仍會變動。這就是隨機變異 (random variation)。臨床研究若樣本太小，結果很容易被這種變動影響；這也是後面學估計與假設檢定時會一直遇到的核心問題。
常見陷阱
- 把機率當作確定預言：機率 0.80 不是保證發生，機率 0.05 也不是不會發生。
- 混淆敏感度與 PPV：敏感度是有病者中陽性的比例；PPV 是陽性者中有病的比例。
- 忽略盛行率：同一個檢驗在不同族群中，陽性結果的意義可能不同。
- 把互斥當獨立：互斥是不能同時發生；獨立是彼此不影響。
- 只看單一檢驗結果：臨床判斷應結合檢驗前機率與檢驗特性。
本章重點整理
- 機率是描述不確定性的數學語言，範圍介於 0 與 1 之間。
- 加法法則用於計算「A 或 B」的機率；若事件重疊，要扣掉交集。
- 條件機率描述在已知某事件發生時，另一事件發生的機率。
- 獨立事件與互斥事件不同，兩者不可混為一談。
- 敏感度與特異度描述檢驗在疾病狀態下的表現；PPV 與 NPV 描述拿到檢驗結果後的疾病機率。
- 貝氏定理說明檢驗前機率與檢驗特性如何共同決定檢驗後機率。
- 模擬能幫助我們理解隨機變異與長期機率行為。
小練習
- 若 500 位病人中有 60 位吸菸、90 位有高血壓、25 位兩者皆有，計算 \(P(\text{吸菸或高血壓})\)。
- 在同一資料中，計算 \(P(\text{高血壓} \mid \text{吸菸})\)。
- 某檢驗敏感度 0.95、特異度 0.85、疾病盛行率 0.02，計算 PPV 與 NPV。
- 用
rbinom() 模擬 1000 次，每次 50 位病人、副作用機率 0.10，畫出副作用人數分布。
- 用自己的話說明為什麼罕見疾病的篩檢陽性結果需要謹慎解釋。
smoking <- 60
hypertension_exercise <- 90
both_exercise <- 25
n_exercise <- 500
p_smoking_or_hypertension <- (smoking + hypertension_exercise - both_exercise) / n_exercise
p_hypertension_given_smoking <- both_exercise / smoking
exercise_res <- screening_metrics(prevalence = 0.02, sensitivity = 0.95, specificity = 0.85)
exercise_ppv <- exercise_res$ppv
exercise_npv <- exercise_res$npv
practice_results <- data.frame(
quantity = c(
"P(吸菸或高血壓)",
"P(高血壓 | 吸菸)",
"PPV",
"NPV"
),
value = c(
p_smoking_or_hypertension,
p_hypertension_given_smoking,
exercise_ppv,
exercise_npv
),
stringsAsFactors = FALSE
)
practice_results$value <- round(practice_results$value, 3)
practice_results
quantity value
1 P(吸菸或高血壓) 0.250
2 P(高血壓 | 吸菸) 0.417
3 PPV 0.114
4 NPV 0.999
Glossary
| 機率 |
probability |
描述事件發生可能性的數值，介於 0 與 1 之間。 |
| 樣本空間 |
sample space |
一次隨機過程所有可能結果的集合。 |
| 事件 |
event |
樣本空間中的一部分結果。 |
| 加法法則 |
addition rule |
用來計算至少一個事件發生機率的法則。 |
| 乘法法則 |
multiplication rule |
用來計算事件交集機率的法則。 |
| 互斥事件 |
mutually exclusive events |
不可能同時發生的事件。 |
| 獨立事件 |
independent events |
一事件發生不改變另一事件機率的情況。 |
| 交集 |
intersection |
兩個事件同時發生的部分。 |
| 聯集 |
union |
兩個事件至少一者發生的部分。 |
| 條件機率 |
conditional probability |
在已知某事件發生下，另一事件發生的機率。 |
| 敏感度 |
sensitivity |
有病者中檢驗陽性的比例。 |
| 特異度 |
specificity |
無病者中檢驗陰性的比例。 |
| 陽性預測值 |
positive predictive value, PPV |
檢驗陽性者中真正有病的比例。 |
| 陰性預測值 |
negative predictive value, NPV |
檢驗陰性者中真正無病的比例。 |
| 貝氏定理 |
Bayes’ theorem |
用條件機率更新事件機率的定理。 |
| 檢驗前機率 |
pre-test probability |
檢驗前根據背景風險或臨床資訊估計的疾病機率。 |
| 檢驗後機率 |
post-test probability |
納入檢驗結果後更新的疾病機率。 |
| 盛行率 |
prevalence |
特定時間點或期間族群中已有疾病的比例。 |
| 風險 |
risk |
事件發生的機率。 |
| 勝算 |
odds |
事件發生機率除以未發生機率。 |
| 勝算比 |
odds ratio |
兩組勝算的比值。 |
| 模擬 |
simulation |
用電腦重複產生隨機結果以研究機率行為的方法。 |
| 隨機變異 |
random variation |
即使機率固定，實際觀察結果仍會自然波動的現象。 |
