本章學習目標
前幾章我們學到 t 檢定、信賴區間與常態近似。這些方法很好用，但醫療資料常常不太乖：住院天數右偏、疼痛分數是等級、樣本數很小、離群值很有存在感。這時候，無母數方法 (nonparametric methods) 提供另一條路。
無母數方法不是「不用假設」的方法，而是較少依賴特定母群體分布形狀的方法。許多非參數檢定使用排序 (rank) 而非原始數值，因此對極端值較穩健。它們像臨床老師看到病人資料很亂時，溫柔但堅定地說：「我們先排隊。」
讀完本章後，你應該能夠：
- 說明無母數方法適用的常見情境。
- 使用符號檢定 (sign test) 與 Wilcoxon 符號等級檢定 (Wilcoxon signed-rank test) 分析單一樣本或配對資料。
- 使用 Mann-Whitney U 檢定 (Mann-Whitney U test) 比較兩個獨立樣本。
- 使用 Kruskal-Wallis 檢定 (Kruskal-Wallis test) 比較三組以上獨立樣本。
- 使用 Spearman 等級相關 (Spearman rank correlation) 描述單調關係。
- 理解置換檢定 (permutation test) 的基本直覺。
什麼時候考慮無母數方法？
無母數方法常用於下列情境：
- 樣本數小，難以評估常態假設。
- 連續資料明顯偏態，例如住院天數、醫療費用、CRP。
- 有離群值，且離群值不一定是錯誤。
- 結果變項是次序資料 (ordinal data)，例如疼痛分數、疾病嚴重度等級。
- 研究問題更關心中位數或分布位置，而不是平均值。
不過，無母數方法也不是萬能。它們通常檢定分布位置或排序差異，不一定直接檢定平均值差異。報告結果時，最好搭配中位數、四分位距與合適的效果量，避免只丟出一個 p 值讓讀者自己找路。
排序的基本概念
許多無母數方法會把原始資料轉成排序。假設資料為 3、8、10，排序分別是 1、2、3。若有相同值，通常使用平均排序。例如 3、8、8、10 中，兩個 8 佔第 2 與第 3 名，因此各給 2.5。
排序的優點是降低極端值影響。若某病人住院 60 天，平均值會被明顯拉高；但在排序資料中，它只是最大值。這不代表離群值不重要，而是無母數方法不讓它一個人把整張桌子掀翻。
Mann-Whitney U 檢定：兩獨立樣本
Mann-Whitney U 檢定用於比較兩個獨立樣本的分布位置，常被視為兩獨立樣本 t 檢定的非參數替代方法。它也稱 Wilcoxon rank-sum test。
重要提醒：Mann-Whitney U 檢定不只是「中位數檢定」。若兩組分布形狀相似，它可被解讀為位置差異；若分布形狀不同，解釋要更小心。
範例 1：加強出院準備是否縮短住院天數？
假設研究比較標準照護與加強出院準備兩組病人的住院天數。住院天數右偏且樣本不大，因此考慮 Mann-Whitney U 檢定。
standard_los <- c(3, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 10, 13, 18, 25)
enhanced_los <- c(2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 9, 12, 16)
los_df <- data.frame(
los = c(standard_los, enhanced_los),
group = c(rep("標準照護", length(standard_los)), rep("加強出院準備", length(enhanced_los))),
stringsAsFactors = FALSE
)
los_df$group <- factor(los_df$group, levels = c("標準照護", "加強出院準備"))
los_df %>%
group_by(group) %>%
summarise(
count = n(),
median = median(los),
mean = mean(los),
std = sd(los),
.groups = "drop"
) %>%
mutate(across(c(median, mean, std), ~ round(., 2)))
# A tibble: 2 × 5
group count median mean std
<fct> <int> <dbl> <dbl> <dbl>
1 標準照護 12 6.5 9 6.65
2 加強出院準備 12 5 6.33 4.14
p1 <- ggplot(los_df, aes(x = group, y = los, fill = group)) +
geom_boxplot(alpha = 0.7, show.legend = FALSE) +
geom_jitter(color = "#333333", alpha = 0.7, width = 0.12, height = 0) +
scale_fill_brewer(palette = "Set2") +
labs(
title = "右偏住院天數：兩組比較",
x = "照護組別",
y = "住院天數"
)
p1
# 執行 Wilcoxon rank-sum test (Mann-Whitney U test)
mw_result <- wilcox.test(enhanced_los, standard_los, alternative = "less", exact = FALSE)
mw_test_df <- data.frame(
quantity = c("U 統計量", "單尾 p 值"),
value = c(as.numeric(mw_result$statistic), mw_result$p.value),
stringsAsFactors = FALSE
)
mw_test_df$value <- round(mw_test_df$value, 4)
mw_test_df
quantity value
1 U 統計量 52.0000
2 單尾 p 值 0.1288
這裡使用單尾對立假設，因為研究問題是「加強出院準備是否縮短住院天數」。若研究前沒有明確方向，應使用雙尾檢定。
符號檢定與 Wilcoxon 符號等級檢定
配對資料若差值明顯不符合常態，或結果是次序尺度，可以考慮符號檢定或 Wilcoxon 符號等級檢定。
符號檢定只看差值方向：改善、惡化或無變化。它非常穩健，但也丟掉很多資訊。Wilcoxon 符號等級檢定同時考慮差值方向與大小排序，因此通常比符號檢定更有檢定力，但它假設差值分布大致對稱。
範例 2：治療前後疼痛分數
某疼痛門診記錄 12 位病人治療前後的疼痛分數，分數為 0 到 10 的次序量尺。研究問題是治療後疼痛是否下降。
pain_before <- c(8, 7, 6, 8, 9, 7, 6, 8, 7, 9, 6, 8)
pain_after <- c(5, 6, 4, 6, 6, 5, 5, 7, 4, 7, 4, 6)
paired_df <- data.frame(id = 1:12, before = pain_before, after = pain_after)
paired_df$difference <- paired_df$after - paired_df$before
paired_df
id before after difference
1 1 8 5 -3
2 2 7 6 -1
3 3 6 4 -2
4 4 8 6 -2
5 5 9 6 -3
6 6 7 5 -2
7 7 6 5 -1
8 8 8 7 -1
9 9 7 4 -3
10 10 9 7 -2
11 11 6 4 -2
12 12 8 6 -2
p2 <- ggplot(paired_df, aes(x = difference)) +
geom_histogram(breaks = seq(-5.5, 1.5, by = 1), fill = "#8ab17d", color = "white") +
geom_vline(xintercept = 0, color = "#d62828", linetype = "dashed", linewidth = 1) +
labs(
title = "配對差值分布",
x = "疼痛分數差值：治療後 - 治療前",
y = "人數"
)
p2
wilcoxon_result <- wilcox.test(pain_after, pain_before, paired = TRUE, alternative = "less", exact = FALSE)
wilcoxon_test_df <- data.frame(
quantity = c("Wilcoxon 統計量", "單尾 p 值", "差值中位數"),
value = c(as.numeric(wilcoxon_result$statistic), wilcoxon_result$p.value, median(paired_df$difference)),
stringsAsFactors = FALSE
)
wilcoxon_test_df$value <- round(wilcoxon_test_df$value, 4)
wilcoxon_test_df
quantity value
1 Wilcoxon 統計量 0.0000
2 單尾 p 值 0.0011
3 差值中位數 -2.0000
如果 p 值小，代表資料提供證據支持治療後疼痛分數下降。臨床上仍應報告下降幅度，例如差值中位數與四分位距。病人關心的不是 p 值多小，而是疼痛少了多少。
Kruskal-Wallis 檢定：三組以上比較
Kruskal-Wallis 檢定是 Mann-Whitney U 檢定的多組延伸，用於比較三組以上獨立樣本的分布位置。它常被視為單因子 ANOVA 的非參數替代方法。
虛無假設是各組來自相同分布。若檢定顯著，代表至少一組不同，但不會告訴你哪兩組不同。後續需要事後比較，並注意多重比較問題。
範例 3：三種劑量下的 CRP
dose_a <- c(9, 12, 14, 15, 18, 21, 25, 31)
dose_b <- c(7, 9, 10, 12, 14, 18, 20, 23)
dose_c <- c(5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16)
crp_df <- data.frame(
crp = c(dose_a, dose_b, dose_c),
dose = c(rep("低劑量", length(dose_a)), rep("中劑量", length(dose_b)), rep("高劑量", length(dose_c))),
stringsAsFactors = FALSE
)
crp_df$dose <- factor(crp_df$dose, levels = c("低劑量", "中劑量", "高劑量"))
crp_df %>%
group_by(dose) %>%
summarise(
count = n(),
median = median(crp),
mean = mean(crp),
.groups = "drop"
) %>%
mutate(across(c(median, mean), ~ round(., 2)))
# A tibble: 3 × 4
dose count median mean
<fct> <int> <dbl> <dbl>
1 低劑量 8 16.5 18.1
2 中劑量 8 13 14.1
3 高劑量 8 9.5 10
p3 <- ggplot(crp_df, aes(x = dose, y = crp, fill = dose)) +
geom_boxplot(alpha = 0.7, show.legend = FALSE) +
geom_jitter(color = "#333333", alpha = 0.7, width = 0.12, height = 0) +
scale_fill_brewer(palette = "Set3") +
labs(
title = "三組 CRP 分布",
x = "治療劑量",
y = "CRP (mg/L)"
)
p3
kruskal_result <- kruskal.test(list(dose_a, dose_b, dose_c))
kruskal_test_df <- data.frame(
quantity = c("H 統計量", "p 值"),
value = c(as.numeric(kruskal_result$statistic), kruskal_result$p.value),
stringsAsFactors = FALSE
)
kruskal_test_df$value <- round(kruskal_test_df$value, 4)
kruskal_test_df
quantity value
1 H 統計量 6.1965
2 p 值 0.0451
若結果顯著，下一步應該做組間事後比較，並控制多重比較造成的第一型錯誤增加。本章先保留這個伏筆，因為多組推論會在後面章節更完整處理。
Spearman 等級相關
Pearson 相關衡量線性關係，而 Spearman 等級相關衡量單調關係 (monotonic relationship)。如果一個變項增加時另一個變項大致增加或大致減少，即使不是直線，Spearman 相關仍可能捕捉到。
Spearman 相關會先把資料轉成排序，再計算排序間的相關。因此它對離群值較不敏感，也適合次序資料。
範例 4：身體活動分數與 HbA1c
假設一組糖尿病病人有身體活動分數與 HbA1c。活動分數越高，HbA1c 看起來越低，但關係不一定線性。
activity <- c(1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12)
hba1c <- c(9.8, 9.4, 9.1, 8.9, 8.7, 8.4, 8.1, 7.9, 7.6, 7.4, 7.2, 7.1, 6.9, 6.8, 6.7)
corr_df <- data.frame(activity_score = activity, hba1c = hba1c)
head(corr_df)
activity_score hba1c
1 1 9.8
2 2 9.4
3 2 9.1
4 3 8.9
5 4 8.7
6 4 8.4
p4 <- ggplot(corr_df, aes(x = activity_score, y = hba1c)) +
geom_point(size = 3, color = "#457b9d", alpha = 0.8) +
geom_smooth(method = "loess", se = FALSE, color = "#d62828", linewidth = 1.2) +
labs(
title = "Spearman 相關：單調關係",
x = "身體活動分數",
y = "HbA1c (%)"
)
p4
spearman_result <- cor.test(activity, hba1c, method = "spearman", exact = FALSE)
spearman_test_df <- data.frame(
quantity = c("Spearman rho", "p 值"),
value = c(as.numeric(spearman_result$estimate), spearman_result$p.value),
stringsAsFactors = FALSE
)
spearman_test_df$value <- round(spearman_test_df$value, 4)
spearman_test_df
quantity value
1 Spearman rho -0.9973
2 p 值 0.0000
相關不等於因果。活動量高與 HbA1c 低可能有關，但也可能受到飲食、藥物順從性、病程長短與社經因素影響。Spearman 相關能描述關係，但不能替代研究設計。
置換檢定的直覺
置換檢定是一種重抽樣方法。其核心想法是：若虛無假設下兩組沒有差異，那麼組別標籤應該可以任意交換。每次隨機重新分配標籤並計算統計量，就能建立虛無假設下的參考分布。
置換檢定的優點是直覺清楚，且不需要強烈分布假設。缺點是計算量較大，不過現代電腦通常不是問題。請注意，置換檢定仍依賴交換性 (exchangeability)：在虛無假設下，資料標籤可以交換才合理。
median_difference <- function(x, y) {
median(x) - median(y)
}
set.seed(20260627)
observed_diff <- median_difference(enhanced_los, standard_los)
combined <- c(enhanced_los, standard_los)
n_enhanced <- length(enhanced_los)
n_total <- length(combined)
perm_diffs <- replicate(5000, {
permuted <- sample(combined)
median_difference(permuted[1:n_enhanced], permuted[(n_enhanced + 1):n_total])
})
perm_pvalue <- (sum(perm_diffs <= observed_diff) + 1) / (5000 + 1)
perm_test_df <- data.frame(
quantity = c("觀察到的中位數差", "置換檢定 p 值"),
value = c(observed_diff, perm_pvalue),
stringsAsFactors = FALSE
)
perm_test_df$value <- round(perm_test_df$value, 4)
perm_test_df
quantity value
1 觀察到的中位數差 -1.5000
2 置換檢定 p 值 0.2807
置換檢定很適合教學，因為它把「如果沒有組間差異，結果會長什麼樣子」這件事具體化。它也提醒我們，統計檢定本質上是在建立一個虛無世界，然後看現實資料在那個世界裡有多不尋常。
常見陷阱
- 以為非參數等於沒有假設：無母數方法仍有資料結構與抽樣假設。
- 把 Mann-Whitney U 一律解釋為中位數差異：只有在分布形狀相似時較合理。
- 忽略配對結構：配對資料應分析差值或使用配對方法。
- 只報 p 值：仍應報告中位數、四分位距或效果量。
- 多組檢定顯著後不做適當事後比較：Kruskal-Wallis 只告訴你至少一組不同。
- 把相關當因果：Spearman 相關只描述單調關係。
本章重點整理
- 無母數方法較少依賴特定母群體分布，常用於偏態、小樣本或次序資料。
- Mann-Whitney U 檢定用於兩獨立樣本的排序比較。
- Wilcoxon 符號等級檢定用於配對資料或單一樣本中位數相關問題。
- Kruskal-Wallis 檢定用於三組以上獨立樣本比較。
- Spearman 等級相關描述兩變項的單調關係。
- 置換檢定透過重新排列標籤建立虛無分布。
- 無母數方法也需要搭配圖形、摘要統計與臨床解釋。
小練習
- 某研究比較兩組住院費用，資料明顯右偏，你會考慮哪一種檢定？為什麼？
- 若同一批病人治療前後疼痛分數為次序尺度，應使用獨立樣本方法還是配對方法？
- Kruskal-Wallis 檢定顯著後，為何不能直接知道哪兩組不同？
- Spearman 相關與 Pearson 相關的主要差異是什麼？
- 用自己的話說明置換檢定的虛無分布如何產生。
practice_group_a <- c(12, 14, 15, 18, 22, 40)
practice_group_b <- c(8, 9, 11, 12, 13, 18)
practice_mw <- wilcox.test(practice_group_b, practice_group_a, alternative = "less", exact = FALSE)
practice_before <- c(6, 7, 8, 7, 9, 6)
practice_after <- c(5, 5, 6, 6, 7, 5)
practice_wilcoxon <- wilcox.test(practice_after, practice_before, paired = TRUE, alternative = "less", exact = FALSE)
practice_results <- data.frame(
檢定 = c("Mann-Whitney U", "Wilcoxon signed-rank"),
統計量 = c(as.numeric(practice_mw$statistic), as.numeric(practice_wilcoxon$statistic)),
`p 值` = c(practice_mw$p.value, practice_wilcoxon$p.value),
check.names = FALSE,
stringsAsFactors = FALSE
)
practice_results$統計量 <- round(practice_results$統計量, 4)
practice_results$`p 值` <- round(practice_results$`p 值`, 4)
practice_results
檢定 統計量 p 值
1 Mann-Whitney U 5 0.0223
2 Wilcoxon signed-rank 0 0.0160
Glossary
| 無母數方法 |
nonparametric methods |
較少依賴特定母群體分布形式的統計方法。 |
| 排序 |
rank |
將觀察值依大小轉換為名次。 |
| 次序資料 |
ordinal data |
有自然順序但間距未必相等的資料。 |
| Mann-Whitney U 檢定 |
Mann-Whitney U test |
比較兩獨立樣本排序分布的非參數檢定。 |
| Wilcoxon rank-sum test |
Wilcoxon rank-sum test |
Mann-Whitney U 檢定的另一名稱。 |
| 符號檢定 |
sign test |
只使用差值方向進行推論的非參數檢定。 |
| Wilcoxon 符號等級檢定 |
Wilcoxon signed-rank test |
使用配對差值方向與大小排序的非參數檢定。 |
| Kruskal-Wallis 檢定 |
Kruskal-Wallis test |
比較三組以上獨立樣本排序分布的非參數檢定。 |
| Spearman 等級相關 |
Spearman rank correlation |
基於排序衡量兩變項單調關係的相關係數。 |
| 單調關係 |
monotonic relationship |
一變項增加時另一變項大致持續增加或減少的關係。 |
| 置換檢定 |
permutation test |
透過重新排列標籤建立虛無分布的重抽樣檢定。 |
| 交換性 |
exchangeability |
在虛無假設下觀察值標籤可交換的性質。 |
| 事後比較 |
post-hoc comparison |
多組整體檢定後進一步比較特定組別的方法。 |
| 多重比較 |
multiple comparisons |
同時進行多個比較而增加第一型錯誤風險的情況。 |
